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2025年年立体几何全国卷高考真题

2025年年立体几何全国卷高考真题_第1页
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-立体几何高考真题1、(1 卷 6 题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一种圆锥的四分之一),米堆为一种圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r,则=,因此米堆的体 积 为=, 故 堆 放 的 米 约 为÷1.62≈22,故选 B.考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式2、(1 卷 11 题)圆柱被一种平面截去一部分后与半球(半径为 r)构成一种几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20,则 r=( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为 2r,其表面积为==16 + 20,解得 r=2,故选 B.考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式3、(1 卷 18 题)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 AFC;(Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.【解析】试题分析:(Ⅰ)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1易证 EG⊥AC,通过计算可证 EG⊥FG,根据线面垂直判定定理可知 EG⊥平面 AFC,由面面垂直判定定理知平面 AFC⊥平面 AEC;(Ⅱ)以 G 为坐标原点,分别以的方向为轴,y 轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,运用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1,由∠ABC=120°,可得 AG=GC=.由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC 可知,AE=EC,又 AE⊥EC,∴EG=,EG⊥AC,在 Rt△EBG 中,可得 BE=,故 DF=.在 Rt△FDG 中,可得 FG=.在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=,DF=可得 EF=,∴,∴EG⊥FG, AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, EG面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. (Ⅱ)如图,以 G 为坐...

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