2025年高中竞赛之重要不等式

高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理 1 对任意实数组恒有不等式“积和方不不不不不大于方和积”，即 等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。 证不等式最基本措施是作差比较法，柯西不等式证明也可首选此法。 证明 1 左= ∴右-左= 当且仅当 时，等式成立。柯西不等式两个推论： ⅰ．设 同号（ ），则 当且仅当 时取等号。 ⅱ．若 ，且 ，则 （分母作和）由柯西不等式可以证下面不等式。3 次可以推广为 4、5 等 n 次。证明:对和分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式推广：闵可夫斯基不等式设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，且 ，则 （ ） （ ） 当且仅当 时等号成立。 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下三角形不等式，当 时得平面上三角形不等式： 右图给出了对上式一种直观理解。 若记 ， ，则上式为 特例：多种根式可转化为一种根式。赫尔德不等式 已知 （ ）是 个正实数， ，则 上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。2〔排序不等式，排序原理〕（给是两列数且为对称）设，，则有．即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中．当且仅当或时等号成立．〔切比雪夫不等式〕实数，满足，（，，…，）．则．当且仅当或时等号成立．下面给出一种 时契比雪夫不等式直观理解。 如图，矩形 OPAQ 中， ， ，显然阴影某些矩形面积之和不不不不大于空白某些矩形面积之和，（这可沿图中线段 MN 向上翻折比较即知）。于是有 ，也即 3 琴生不等式〔凸函数定义〕 1．设是定义在闭区间上函数，若对任意，和任意，有成立，则称是上凸函数（也称下凸函数或凹函数）． 2．设是定义在上函数，若对任意，且和任意，有成立，则称是上严格凸函数． 3．设是定义在上函数，若对任意，和任意，有成立，则称是上上凸函数．凸函数定义表明了，上(下)凸函数两个自变量算术平均值处函数值不小(大)于其函数值算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点弦中点恒位于图形对应点之下(上)．见图 1． 图 1注意到在定义中，凸函数条件是对区间内任意两点 x1和 x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间凸性．即上凸函数图象上任一段弧都在所对应弦上方；下凸函数图象上任一段弧都在所对应弦下方．并且由此形成弓形是凸区域．正由于这...