2025年数列知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：1.归纳通项公式：重视经验的积累例 1.归纳下列数列的通项公式：(1)0，-3,8，-15,24，.......(2)21,211,2111,21111,......(3)2.与的关系：an={a1,(n=1)Sn−Sn−1,(n≥2)注意：强调分开，注意下标；与之间的互化（求通项）例 2：已知数列的前项和，求.3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联络）例 3：已知数列满足，，求.二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相似之处和不一样之处）例题：例 4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝ (n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并阐明理由． (1)证明 an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2 时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.∴数列{bn}是以－为首项，1 为公差的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n－，则 an＝1＋＝1＋，设函数 f(x)＝1＋，易知 f(x)在区间和内为减函数．∴当 n＝3 时，an获得最小值－1；当 n＝4 时，an获得最大值 3.例 5（等差数列的基本量的计算）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的前n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0.(1)若 S5＝5，求 S6及 a1(2)求 d 的取值范围．解(1)由题意知 S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.因此解得 a1＝7，因此 S6＝－3，a1＝7.(2)措施一 S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即 2a＋9da1＋10d2＋1＝0.由于有关 a1的一元二次方程有解，因此Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得 d≤－2 或 d≥2.措施二 S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.因此 d2≥8.故 d 的取值范围为 d≤－2 或 d≥2.例 6（前 n 项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn获得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和．解 措施一 a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0，即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0，∴当 n＝12 或 13 时，Sn获得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.措施二 同...