2025年专升本高数复习笔记

§1.1 函数一、重要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) →x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:假如函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增长(或减少)的； 则它必然存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增长(或减少)的。㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当 x1＜x2时,若 f(x1)≤f(x2),则称 f(x)在 D 内单调增长( )；若 f(x1)≥f(x2),则称 f(x)在 D 内单调减少( )； 若 f(x1)＜f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调增长( )；若 f(x1)＞f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)有关原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=xn , (n 为实数)3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x∈X2.初等函数:由基本初等函数通过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一种数学式子表达的函数。二、例题分析例1.求下列函数的定义域：⑴解:对于有: ≠0 解得: ≠±1对于有: ≥0 ≥－2∴的定义域: ⑵解:由得：，解得: 由 得： ＞0 ， ＜2∴的定义域: f(x)的定义域为（-1，1）则 f(x+1) 的定义域为 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.[0,2] [ ]解： -1＜x+1＜1 -2∴＜x＜0即 f(x+1) 的定义域为: x(-2,0)∈应选 A.例 3.下列 f(x)与 g(x)是相似函数的为A. , 21)()(DxxgDxxfy211)(2xxxf211x21xx2x2xx)(xf  ,11,11,2xxxf2ln1)(x2ln102ln x1xx2lnx2x)(xf 2,11,xxxf)( 2)(xxgB. ， C. ，D. ， [ ]解：A. ，B. ， 应选 BC. ，D. ，例 4.求，的反函数及其定义域。解： ，∴， 在(-3,+∞)内，...