三角函数与向量的基本概念及综合应用

湖南省省级示范性高中-------洞口三中 方锦昌 提供一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、 向量的表示：、、区别于||、||3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则★ 例题 1、一艘船从 A 点出发以 2km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为 2km/h；求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向与水流方向成 60°角）★【※题 2】①设 O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足=+(+),∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ② 将上题中的条件改为=+(+)则应选( C ) ★ 例题 3：（1）、化简下列各式：①+；②+-；③++；④（-）+（-）其中结果为 0 的有①③④（ 2）、在平行四边形 ABCD 中，=,DB=,则有:=-,=+-4、 实数与向量的积、平面对量基本定理、平面对量的坐标表示：① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：★例 1、已知平行四边形 OADB 中，=,=,AB 与 OD 相交于点 C，且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、、和。 ★ 例 2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：++=0 ★例 3、已知 AD、BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线，=,=，则=____ ★ 例 4、①已知等差数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn,若 M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且=a31+a2(直线 MP 不过点 O），则 S32等于多少？ ②（2024 年江西高考）已知等差数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn,若=a1+a200,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点 O），则 S200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 ★例 5、①若的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则||=_____② 已知=(1,2),=(x,1),且+2与 2-平行，则 x 之值为____③ 已知=(3,4),⊥,且的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则等于_____④ 已知点 M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点 P 的坐标是____（答案：（-1，） 巩固练习：（一）平面对量的坐标运算规律：①设=(x1,y1),=(x2,y2),则+=_________；-=__________,=______；②||==；又·=||·||·cos<,>=x1x2+y1y2则 cos<,>==; ③ 若∥⇔x1y2-x2y1=0; 若⊥⇔x1x2+y1y2=0， ★例 1、 ① 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求（·)· （答案：（21，-...