凸函数在初等代数中的应用摘 要本文通过对凸函数定义与性质定理的介绍,归纳了判定凸函数的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题,进一步提高了运用这些方法解决相关数学问题的能力.关键词凸函数;判别;不等式;应用中图分类号 O174.131 引言函数的凹凸性主要用于高等数学中,例如凸函数在泛函分析、最优化理论以与数学规划和控制论等领域有着广泛的应用,而在初等代数中并没有相关的概念以与系统的定义、性质,但它在初等代数解题中频频出现.例如有些对数函数,指数函数以与一些不等式的计算或证明,往往看起来很复杂,甚至无从下手,若用常规方法去解决会相当困难,再加上计算量大且繁锁,使许多人产生厌学数学的情绪,但假如利用凸函数的相关性质给予计算或证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.为了培育与提高学生学习数学的兴趣,让学生初步掌握凸函数相关性质是很必要的.因此本文通过凸函数的基本知识与相关性质的介绍,归纳了判定其凸性的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题.2 预备知识定义设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数,总有,则称为区间上的凸函数.反之,假如总有.则称为区间上的凹函数.定义若在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则称为上的凸函数.性质 若在区间上为凸函数,则当时,在上也为凸函数.性质若,在区间都为凸函数,则在区间上也为凸函数.性质 若在区间上为凸函数,则当时,在区间上也为凸函数.性质(Jensen 不等式)若为区间上的凸函数,则对任意的,,,且,有.推论若是凸函数,则其对应定义域中的任意个点,恒有,当且仅当时等号成立.定理为上的凸函数的充要条件是:对于上的任意三点,总有.推论若在上满足 (,且),则称为上的凸函数.定理设为区间上的二阶可导函数,则为上的凸函数的充要条件是,.由于凹函数与凸函数是对偶的概念,后一个有什么结论,前一个亦有相应的结论,所以本文只需讨论函数的凸性.3 判别函数凸性的方法在解题中常会遇到一些与凸函数相关的问题.要想运用凸函数的有关性质去解决,首先就要推断该函数的凸性.因此掌握判别凸函数的一些基本方法,有利于提高解题速度.下面将探讨判别凸函数的几种基本方法.3.1 定义法一些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性.例如.由定义 1,对,有,即 ,所以为上的凸函数.3.2 定理法例 1 判别函数的凸性.解 令且,则,由定理 1 有,所以为上的凸函数.例 2 判别的凸性.解 由于,,则由定理 2 知,当,即时,有.故在上为凸函数,在...
