函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1.偶函数:一般地,假如对于函数的定义域任意一个,都有,,那么函数就叫做偶函数。2.奇 函 数 : 一 般 地 , 假 如 对 于 函 数的 定 义 域 任 一 个, 都 有,,那么函数就叫做奇函数。 注意:(1)推断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再推断 之一是否成立。(2)在推断与的关系时,只需验证与=是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一 推断下列函数的奇偶性。⑴,(2) (3)(4) (5) (6) (7) ,(8)提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来推断(1)推断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。(2)常见的奇函数有:,,,(3)常见的奇函数有:,,(4)若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上,+为偶函数,为偶函数。当≠时,为偶函数。(5)若,都是奇函数,那么在与的公共定义域上,+是奇函数,是奇函数,是偶函数,当≠0 时,是偶函数。 (6)常函数是偶函数,0 既是偶函数又是奇函数。(7)在公共定义域偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数;若为偶函数,为奇(偶)函数,则都为偶函数;若为奇函数,为奇函数,则为奇函数;若为奇函数,为偶函数,则为偶函数. 题型二 三次函数奇偶性的推断已知函数,证明:(1)当时,是偶函数(2)当时,是奇函数提示:通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,如,当,是偶函数;当,是奇函数。题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数是偶函数,定义域为,则.2 设是定义在上的偶函数,则的值域是.3 已知是奇函数,则的值为 14 已知是偶函数,则的值为 1提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,。(2)因为是填空题,所以还可以用。(3)还可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是( B )A.B.C.D.2 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 AA. B.C.D.3 下列函数中,为偶函数的是( C )A. B. C. D.4 函数的图像关于( C )A.轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称5 已知函数是上的奇函数,且,则=-46 已知函...