基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结向量不等式：[注意]：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似)代数不等式：同号或有；异号或有.绝对值不等式：双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）放缩不等式：①，则.[说明]：（，糖水的浓度问题）.[拓展]：.②，，则；③，；④，.⑤,.函数图象与性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：① 值域：；② 单 调 递 增 区 间 ：，； 单 调 递 减 区 间 ：，. 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．[变形]：①（当 a = b 时，）[注意]：，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）*.若，则 (当且仅当时取“=”）若， 则 ( 当 且 仅 当时 取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：（，）； * 不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以 ab 得或。 *均为正数，八种变式： ① ； ②； ③④；⑤若 b>0,则；⑥ a>0,b>0,则；⑦若 a>0,b>0,则； ⑧ 若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。最值定理（积定和最小）①，若积，则当时和有最小值；（和定积最大）②，若和，则当是积有最大值.[推广]：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.③ 已知，若，则有则的最小值为：④ 已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当时，求函的数最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例 2.已知，求函数的最大值.⑶调整分子：例 3.求函数的值域；⑷ 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式有 几 个 常 用 变 形 ,，不易想到，应重视；例 4.求函数的最大值；⑸连用公式：例 5.已知，求的最小值；⑹对数变换：例 6.已知，且，求的最大值；⑺三角变换：例 7.已知，且，求的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例 8.已知，且，求的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：⑴平方和为定值若（为定值，），可设，其中.①在上是增函数，在上是减函数；②在上 是 增 函 数 ， 在上是减函数；③. 令其中.由，得，从而在上是减函数.⑵和为定值若（为定值，...