复变函数复习重点 (一)复数的概念1.复数的概念：，是实数, ..注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与 轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。3）与之间的关系如下： 当； 当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：，其中。 (二) 复数的运算1.加减法：若，则2.乘除法：1）若，则；。2）若, 则；3.乘幂与方根1） 若，则。2） 若，则（ 有个 相 异 的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把 平面上的一个点集 变到 平面上的一个点集 的映射.2．复初等函数1）指数函数：，在 平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3） 对数函数： （多值函数）；主值：。（单值函数）的每一个主值分支在除去原点与负实轴的 平面处处解析，且；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点与负实轴的 平面处处解析，且。4）三角函数：在 平面解析，且注：有界性不再成立；（与实函数不同）4） 双曲函数 ；奇 函 数 ，是 偶 函 数 。在平 面 解 析 ， 且。（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域点点可导。2．解析函数的概念1）点解析：在与其的邻域可导，称在点解析；2）区域解析：在区域每一点解析，称在区域解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可 微 ， 且 在 处 满 足条 件 ： 此时，有。2．函数解析的充要条件：在区域解析和在在可 微 ， 且 满 足条 件 ：；此时。注 意 ： 若在 区 域具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则在区域是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以 的形式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：， 是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．...
