复变函数复习重点 (一)复数的概念1
复数的概念：，是实数,
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小
复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与 轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角
3）与之间的关系如下： 当； 当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号
5）指数表示：，其中
(二) 复数的运算1
加减法：若，则2
乘除法：1）若，则；
2）若, 则；3
乘幂与方根1） 若，则
2） 若，则（ 有个 相 异 的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把 平面上的一个点集 变到 平面上的一个点集 的映射
2．复初等函数1）指数函数：，在 平面处处可导，处处解析；且
注：是以为周期的周期函数
（注意与实函数不同）3） 对数函数： （多值函数）；主值：
（单值函数）的每一个主值分支在除去原点与负实轴的 平面处处解析，且；注：负复数也有对数存在
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点与负实轴的 平面处处解析，且
4）三角函数：在 平面解析，且注：有界性不再成立；（与实函数不同）4） 双曲函数 ；奇 函 数 ，是 偶 函 数
在平 面 解 析 ， 且
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域点点可导
2．解析函数的概念1）点解析：在与其的邻域可导，称在点解析；2）区域解析：在区域每一点解析，称在区域解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可 微 ， 且 在 处 满 足条 件 ： 此时，有
2．函数解析的充要条件：在区域解析和在在可 微 ， 且 满 足条 件 ：；此时
注 意 ： 若在 区 域具 有 一 阶 连 续
