微分算子法微分算子法分类小结一、n 阶微分方程1、二阶微分方程： +p(x)+q(x)y=f(x) 2 、 n 阶 微 分 方 程 ： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)二、微分算子法 1、定义符号：，D 表示求导，如 Dx3=3x2，Dny 表示 y 对x 求导 n 次；表示积分，如x=2 , x 表示 对 x 积分 n 次，不要常数。 2、计算 将 n 阶微分方程改写成下式：Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （ Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an）y=f(x) 记 F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an规定特解：y*=3、的性质(1)性质一：ekx=ekx(F(k) 不等于 0）注：若 k 为特征方程的 m 重根时，有ekx= xmekx= xmekx (2)性质二：ekxv(x)= ekxv(x)(3)性质三：特解形如sin(ax)和cos(ax)i.考察该式（该种形式万能解法）：eiax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+isin(ax)虚数 i2 = -1ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若 F(-a2)0，则sin(ax)=sin(ax)cos(ax)=cos(ax)若 F(-a2)= 0 ， 则 按 i. 进 行 求 解 ， 或 者 设 -a2 为 F(-a2) 的 m 重根，则sin(ax)=xmsin(ax)cos(ax)=xmcos(ax) (4)性质四（多项式）：（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）= Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）注：Q(D)为商式，按 D 的升幂排列，且 D 的最高次幂为 p 。(5)性质五（分解因式）:==(6)性质六:= 三、例题练习例 1. +4y=ex 则(D2+4)y=ex ,特解 y*=ex=ex= ex (性质一)例 2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x） 特解 y*=2cos(3x）= 2cos(3x）= 2cos(3x）=cos(3x）(性质三)例 3、-4+4y= x2e2x,则(D2-4D+4)y= x2e2x 特解 y*=x2e2x = e2xx2=e2xx2= x4e2x （性质二）例 4 、-3+3 - y=ex , 则 (D3-3D2+3D-1)y=ex特解 y*=ex=ex1=ex1=x3ex(性质二）例 5、-y=sinx ,则(D3-1)y=sinx ,特解 y*=sinx考察eixeix=eix=eix=eix=(cosx+isinx) =-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx) 取虚部为特解 y*=(cosx-sinx) (性质一、三)例 6 、+y=cosx ， 则 (D2+1)y=cosx ， 特 解 y*=cosx 考察eix eix=eix=eix=eix=eix1=- xeix=xsinx-ixcosx 取实部为特解 y*=xsinx (性质一、二、三） 例 7、-y=ex ，则(D4-1)y= ex 特解 y*=ex=ex=ex =ex =ex=ex1=xex （性质一、二、五）例 8、+y=x2-x+2 , 则(D2+1)y=x2-x+2 特解 y*=(x2-x+2)=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x (性质四)例 9、+2+2y=x2e-x ,则(D2+2D+2)y=x2e-x特解 y*=x2e-x=e-xx2 =e-xx2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2)（性质二、四）例 10、+y=xcosx ，则(D2+1)y=xcosx ， 特解 y*=xcosx ，考察xeix xeix=xeix=eixx=eixx=eixx=eixx =eixx=(cosx+isinx)x=(xcosx+x2sinx)+i(xsinx-x2cosx)取实部为特解 y*=(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四）
