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每周一练:导数应用(一)

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导数应用 11.(本小题满分分)已知函数,其中(I)若,求函数的极值;(II)当时,试确定函数的单调区间.2.(本小题满分 13 分)已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数在区间的最小值为 ,求的值.3.(本小题共 13 分)已知曲线.(Ⅰ)求曲线在点()处的切线方程;(Ⅱ)若存在使得,求的取值范围.答案解析1.(本小题满分 13 分)(Ⅰ)解:函数的定义域为,且. ……………… 1 分. ……………… 3 分令,得,当变化时,和的变化情况如下:↘↘↗……………… 5 分故的单调减区间为,;单调增区间为.所以当时,函数有微小值. ……………… 6 分(Ⅱ)解:因为 , 所以 , 所以函数的定义域为, ……………… 7 分 求导,得,…… 8 分 令,得,, ……………… 9 分 当 时,,当变化时,和的变化情况如下:↗↘↗故函数的单调减区间为,单调增区间为,.……………… 11 分 当 时,, 因为,(当且仅当时,)所以函数在单调递增. ……………… 12 分当 时,,当变化时,和的变化情况如下:↗↘↗故函数的单调减区间为,单调增区间为,. 综上,当 时,的单调减区间为,单调增区间为,;当 时,函数在单调递增;当 时,函数的单调减区间为;单调增区间为,. ……………… 13 分2. (本小题满分 13 分)解:函数的定义域是, .(Ⅰ)(1)当时,,故函数在上单调递减.(2)当时,恒成立,所以函数在上单调递减.(3)当时,令,又因为,解得.① 当时,,所以函数在单调递减.② 当时,,所以函数在单调递增.综上所述,当时,函数的单调减区间是,当时,函数的单调减区间是,单调增区间为……7分(Ⅱ)(1)当时,由(Ⅰ)可知,在上单调递减,所以的最小值为,解得,舍去.(2)当时,由(Ⅰ)可知,① 当,即时,函数在上单调递增,所以函数的最小值为,解得.② 当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数的最小值为,解得,舍去.③ 当,即时,函数在上单调递减,所以函数的最小值为,得,舍去.综上所述,. …………………………13 分3.解:(Ⅰ)因为,所以切点为.,, 所以曲线在点处的切线方程为:.———————————————4 分(Ⅱ)(1)当时,令,则. 因为在上为减函数, 所以在内,在内, 所以在内是增函数,在内是减函数, 所以的最大值为 因为存在使得,所以,所以.(2)当时,恒成立,函数在上单调递减,...

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