§2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为 ，两端坐标为。杆的侧面绝热，且在端点处温度为零，而在处杆的热量自由发散到周围温度为 0 的介质中。初始温度为，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1 中步骤，设，代入上面的方程可得从而可得通解由边界条件知从而令 上方程的解可以看作曲线，交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根于是得到特征值问题的无穷个特征值与相应的特征函数再由方程， 可得，从而我们得到满足边界条件的一组特解由于方程和边界条件是齐次的，所以仍满足此方程和边界条件。下面讨论一下其是否满足初始条件。可以证明在区域[0,l]上具有正交性，即证明：完成。令于是，从而得到定解问题得解。§2.3 圆域的二维 Laplace 方程的定解问题平面极坐标和直角坐标的关系是由此可得即是由复合函数求导法则，可得进一步，可得在此基础上，还可以得到柱坐标系下的 Laplace 算符考虑圆域的稳定问题：其在极坐标下的表示形式：因圆域温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且表示同一点，故而我们有下约束下面用分离变量法求解该问题。令 代入极坐标下方程可得：从而可得常微分方程由有限性与周期边界条件知，从而得定解问题求解：①时，通解为由周期边界条件可得 从而，不可取。②时，通解为由周期边界条件可得 B 任意，说明为一特征值，相应得特征函数为。③时，通解为因以为周期，所以有 从而可得特征值特征函数为接下来，求特解，并叠加出一般解。由 Euler 方程若令，即，则上方程可写为故①时，通解②时，通解为为保证，所以可得，即从而，满足齐次方程和周期条件与有限性的解可以表示为级数最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得运用性质从而可得因而，我们有利用下面的求和公式所以，称此表达式为圆域的 Poisson 公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理论上的讨论。例题 解下列定解问题：解：利用公式可知， 所以。
