最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P，但最终问题问的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某种联系，从 P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例 1：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点．考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线，由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO．Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．AOPQQPOAM引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP．考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°得 AQ，故 Q 点轨迹与 P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO．即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例 3：如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1．即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．OPQAMAQPOOPQA【模型总结】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点...
