极限思想的产生和发展

极限思想的产生和进展摘要：极限谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的进展所决定的。本文以数学进展史为基础，从一些典型例子中寻找极限的产生与进展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。关键词：极限思想产生进展完善思维功能1.极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避开明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法进展成为一个有用概念的方向”。2.极限思想的进展正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?假如是零，怎么能用它去作除法呢?假如不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。3.极限思想的完善到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”它接近于极限的正确定义。然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为 19 世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（x）的导数定义为差商 Δy／Δx 的极限 f′（x），并强调指出 f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。到了 19 世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析...