不定积分总结

l不定积分l、原函数定义 1 如果对任一 xeI,都有F，(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx则称 F(x)为 f(x)在区间 I 上的原函数。例如：(sinx)=cosx，即 sinx 是 cosx 的原函数。11[ln(x+J+x2)'=，即 ln(x+v1+x2)是的原函数。Jl+x2x2原函数存在定理：如果函数 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)在区间 I 上一定有原函数，即存在区间 I 上的可导函数 F(x)，使得对任一 xeI,有 Ff(x)=f(x)。注 1：如果 f(x)有一个原函数，则 f(x)就有无穷多个原函数。设 F(x)是 f(x)的原函数，则[F(x)+C]'=f(x)，即 F(x)+C 也为 f(x)的原函数，其中C 为任意常数。注 2：如果 F(x)与 G(x)都为 f(x)在区间 I 上的原函数，则 F(x)与 G(x)之差为常数，即 F(x)-G(x)=C(C 为常数)注 3：如果 F(x)为 f(x)在区间 I 上的一个原函数，则 F(x)+C(C 为任意常数)可表达 f(x)的任意一个原函数。二、不定积分定义 2 在区间 I 上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记为Jf(x)dx。如果 F(x)为 f(x)的一个原函数，则Jf(x)dx=F(x)+C，(C 为任意常数)l三、不定积分的几何意义图 5—1设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)的一条积分曲线.于是 f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由 f(x)TI-i_-i-i-i-i--i-i-i-i--i-i—r的某一条积分曲线沿着 y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线,其斜率都等于 f(x).在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式 y=F(x)+C,再从中确定一个满足条件 y(x)二 y(称为初始条件)的原函数 y=y(x).从几00何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x,y)的积分曲线.00l四、不定积分的性质(线性性质)J[f(x)土 g(x)]dx=\f(x)dx±fg(x)dxJf(x)dx=kJf(x)dx(k 为非零常数)五、基本积分表Jadx=ax+C,a 和 C 都是常数JxAadx=[xA(a+l)]/(a+1)+C,其中 a 为常数且 a 工-1J1/xdx=ln|x|+CJaAxdx=(l/lna)aAx+C,其中 a>0 且 a 工 1JeAxdx=eAx+CJcosxdx=sinx+CJsinxdx=-cosx+CJcotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+CJtanxdx=-ln|cosx|+C=ln|secx|+CJsecxdx=ln|cot(x/2)|+C=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C=-ln|secx-tanx|+C=ln|secx+tanx|+CJcscxdx=ln|tan(x/2)|+C=(1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C=-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+CJsecA2(x)dx=tanx+Cl...