第 21 讲 特别的平行四边形第 1 课时 矩形 知识点 1 矩形的定义及性质1．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD 第 1 题图 第 2 题图2．如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则 AC 等于(C)A．8 B．10 C．12 D．183．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB＝AO，求∠ABD 的度数．解： 四边形 ABCD 为矩形，∴AO＝BO.又 AB＝AO，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO 为等边三角形．∴∠ABD＝60°.知识点 2 矩形的判定4．如图，在▱ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一 ， 如： CD ＝ BE ，使四边形 DBCE 是矩形．5．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OB.求证：四边形 ABCD 是矩形．证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. OA＝OB，∴OA＝OB＝OD＝OC.∴BD＝AC.∴四边形 ABCD 是矩形． 重难点 矩形的性质与判定 如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，延长 BC 至点 F，使 CF＝BE，连接 AF，DE，DF.(1)求证：四边形 AEFD 是矩形；(2)若 AB＝6，DE＝8，BF＝10，求 AE 的长．【思路点拨】 (1)先证明四边形 AEFD 是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；(2)利用勾股定理逆定理证明△ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出 AE 的长．【自主解答】 (1)证明： CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即 EF＝BC. 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC 且 AD＝BC.∴AD∥EF 且 AD＝EF.∴四边形 AEFD 是平行四边形． AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.∴四边形 AEFD 是矩形．(2) 四边形 AEFD 是矩形，DE＝8，∴AF＝DE＝8. AB＝6，BF＝10，∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.∴∠BAF＝90°. AE⊥BF，∴S△ABF＝AB·AF＝BF·AE.∴AE＝＝＝.【变式训练】 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线 AC，BD 交于点O，DE 平分∠ADC 交 BC 于点 E，连接 OE.(1)求证：四边形 ABCD 是矩形；(2)若 AB＝2，求△OEC 的面积．解：(1)证明： AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°. ∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形 ABCD 是矩形．(2)作 OF⊥BC 于 F. 四边形 ABCD 是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD...
