第 24 章 抽屉原理和容斥原理24.1 抽屉原理24.1.1★在任意的 61 个人中，至少有 6 个人的属相相同．解析因为一共有 12 种属相，把它看作 12 个抽屉，，根据抽屉原理知，至少有 6 个人的属相相同．评注抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理．这一简单的思维方式在解题过程中却可以有很多颇具匠心的运用．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现．许多有关存在性的证明都可用它来解决．抽屉原理 1 假如把件东西任意放入个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西．抽屉原理 2假如把件东西任意放人个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，这里其中表示不超过的最大整数 ，例如，，等等．24.1.2★从 2，4，6，…，30 这 15 个偶数中任取 9 个数，证明：其中一定有两个数之和是34．解析把 2，4，6，…，30 这 15 个数分成如下 8 组（8 个抽屉）；（2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）．从 2，4，6，…，30 这 15 个数中任取 9 个数，即是从上面 8 组数中取出 9 个数．抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是 34．24.1.3★★在 1，2，3， …，100 这 100 个正整数中任取 11 个数，证明其中一定有两个数的比值不超过；，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，{11，12，…，16}，{17，18，…，25}，{26，27，…，39}，{40，41，…，60}．{61，62，…，91}，{92，93，…，100}．从 1，2，…，100 中任取 11 个数，即是从上面 10 组中任取 11 个数，由抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过．24.1.4★求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被 3 整除．解析任何数除以 3 所得余数只能是 0、1、2，分别构造 3 个抽屉：{0}、{1}、{2}．（1）若这五个自然数除以 3 后所得余数分别分布在这 3 个抽屉中，从这三个抽屉中各取 1个，其和必能被 3 整除．（2）若这 5 个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽屉必包含有个余数，而这三个余数之和或为 0，或为 3，或为 6，故所对应的 3 个整数之和是 3 的倍数．（3）若这 5 个余数都能分布在其中的一个抽屉中，易知必有 3 个整数之和能被 3 整除．24.1.5★★从 1，2，3，…，20 中，至少任取多少个数，才能使得其中一定有两个数，大的数是小的数的倍数．解析从 1，2，…，20...
