第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换,“角”的变换是三角恒等变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2024·全国Ⅰ卷)已知 α∈(0,π),且 3cos 2α-8cos α=5,则 sin α=( )A. B. C. D.解析 由 3cos 2α-8cos α=5,得 3(2cos2α-1)-8cos α=5,即 3cos2α-4cos α-4=0,解得 cos α=-或 cos α=2(舍去).又因为 α∈(0,π),所以 sin α>0,所以 sin α===.故选 A.答案 A2.(2024·全国Ⅲ卷)在△ABC 中,cos C=,AC=4,BC=3,则 tan B=( )A. B.2C.4 D.8解析 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=42+32-2×4×3×=9,得 AB=3,所以 AB=BC.过点 B 作 BD⊥AC,交 AC 于点 D,则 AD=AC=2,BD==,所以 tan ∠ABD===,所以 tan ∠ABC==4.故选 C.答案 C3.(2024·新高考山东、海南卷)在① ac=,② csin A=3,③ c=b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin A=sin B,C=,________?(注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)解 方案一:选条件①.由 C=和余弦定理得=.由 sin A=sin B 及正弦定理得 a=b.于是=,由此可得 b=c.由① ac=,解得 a=,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时 c=1.方案二:选条件②.由 C=和余弦定理得=.由 sin A=sin B 及正弦定理得 a=b.于是=,由此可得 b=c,B=C=,A=.由② csin A=3,解得 c=b=2,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时 c=2.方案三:选条件③.由 C=和余弦定理得=.由 sin A=sin B 及正弦定理得 a=b.于是=,由此可得 b=c.由③ c=b,与 b=c 矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.4.(2024·北京卷)在△ABC 中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a 的值;(2)sin C 和△ABC 的面积.条件①:c=7,cos A=-;条件②:cos A=,cos B=.注:假如选择条件①和条件②分别解答,按第一...