第2讲-三角恒等变换与解三角形

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2024·全国Ⅰ卷)已知 α∈(0，π)，且 3cos 2α－8cos α＝5，则 sin α＝( )A. B. C. D.解析 由 3cos 2α－8cos α＝5，得 3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即 3cos2α－4cos α－4＝0，解得 cos α＝－或 cos α＝2(舍去).又因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0，所以 sin α＝＝＝.故选 A.答案 A2.(2024·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则 tan B＝( )A. B.2C.4 D.8解析 由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得 AB＝3，所以 AB＝BC.过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 于点 D，则 AD＝AC＝2，BD＝＝，所以 tan ∠ABD＝＝＝，所以 tan ∠ABC＝＝4.故选 C.答案 C3.(2024·新高考山东、海南卷)在① ac＝，② csin A＝3，③ c＝b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A＝sin B，C＝，________？(注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 方案一：选条件①.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c.由① ac＝，解得 a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 c＝1.方案二：选条件②.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c，B＝C＝，A＝.由② csin A＝3，解得 c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2.方案三：选条件③.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c.由③ c＝b，与 b＝c 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.4.(2024·北京卷)在△ABC 中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积.条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝.注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一...