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第二讲-因式分解

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第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式: (立方和公式) (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:(1) (2) 分析: (1)中,,(2)中.解:(1) (2) 说 明 : (1) 在 运 用 立 方 和 ( 差 ) 公 式 分 解 因 式 时 , 常 常 要 逆 用 幂 的 运 算 法 则 , 如,这里逆用了法则;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号.【例 2】分解因式:(1) (2) 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现,可看着是或.解:(1) .(2) 二、分组分解法从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.1.分组后能提取公因式【例 3】把分解因式.分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.解:说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.【例 4】把分解因式.分析:根据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解:说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.2.分组后能直接运用公式【例 5】把分解因式.分...

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