§12一般曲面一、曲面的方程与曲线的坐标曲面方程的形式有隐式F(x,y,z)=0显式z=f(x,y)参数式矢量式r=r(u,)或r=x(u,)i+y(u,)j+z(u,)k对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取为一系列数值，而让u连续变动，则r(u,)(i=1,2,)表示一族曲线，称为u线（图7.23）；同样，如果取u为一系列数值u1,u2,，而让连续变动，则r(ui,)(i=1,2,)表示另一族连续曲线，称为线.u线与线在曲面上构成曲线网，称为坐标线或坐标网.于是u=ui,=这个数对就可以确定曲面上一点M，这数对(ui,)称为点M的曲线坐标（或高斯坐标）.二、切面、法线与曲面的方向[法线单位矢量]通过曲面上一的M所有曲面曲线（即该曲面上的曲线），在点M的切线落在同一平面上（奇点除外），称这平面为曲面在点M的切面通过点M与切面垂直的直线称为曲面在点M的法线.切面通过的矢量ru=和称为坐标矢量，它们分别是u线和线在点M的切矢量（图7.24）曲面上点的法线单位矢量为这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单位矢量，前者以n表示，后者以N表示.[曲面的方向]曲面的方向规定如下：朝N的正向那一面是曲面的正面（图7.24中看到的一面）；另一面为反面.[曲面的切线方程与法线方程]曲面方程切面方程法线方程z=f(x,y)图7.23图7.24r=r(u,)或(r-r0)N0=0或式中为参数表中分别表示在点M(x0,y0,z0)的值，r0是点M的矢径，分别表示在点M的值，N0为点M的法线单位矢量.[曲面的奇点]若曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)的三个偏导数同时等于零，即则称点M为该曲面的奇点.三、第一基本二次型与曲面的度量[第一基本二次型与第一基本量]曲面方程第一基本二次型与第一基本量z=f(x,y)或r=r(u,)ds2=Edx22fdxdy+Gdy2式中E=1+F=G=1+ds为点M(x,y,z)处的弧的微分，ds2称为第一基本二次型，E,F,G称为第一基本量ds2==Edu2+2Fdud+Gd2式中E=F=G=第一基本量E,F,G都在点M处取值.曲面上每点（奇点除外）的第一基本二次型是正定的，即E>0,G>0,EG-F2>0[曲面上的弧长、面积、夹角等计算公式]各量与图形计算公式曲面曲线的弧长L曲面面积S（由曲线围成）曲线夹角（两条曲线交于点M）式中E，F，G为曲面的第一基本量（在点M取值）。坐标线u=常数和v=常数的交角决定于因此坐标线正交的充分必要条件是：[曲面的变形]保持曲面曲线长度不变的变换称为曲面的变形。具有相同的第一基本二次型的两个曲面S，称为贴合的或等距的。从S到和从到S的这种变换都称为等距变换。关于曲面的几何量经过等距变换不变者都称为等距不变量。等距变换的一种具体表现是把一个曲面连续弯曲而保持曲面曲线的长度不变，使这个曲面最后与另一个曲面相贴合；因此，等距变换又称为变形。从定义可以推出，两个曲面互为变形的充分必要条件是：经过适当地选择参数后，它们具有相同的第一基本二次型。四、第二基本二次型曲面曲线的曲率[第二基本二次型与第二基本量]曲面方程第二基本二次型与第二基本量式中曲面方程第二基本二次型与第二基本量称为第二基本二次型，L，M，N称为第二基本量或式中偏导数等在点取值，E，F，G为第一基本量，N为曲面在点M的法线单位矢量。表示曲面上两个无限邻近点中，一点到另外一点的切面的距离的主要部分的两倍，它表明曲面与切面的离差的特征，也反映曲面在空间中的弯曲程度[主法截线（主方向、主曲率半径与脐点）]通过曲面上一点M的法线的平面与曲面的交线（）都称为点M的法截线。所以通过曲面上一点的法截线有无穷多条，给定点M的一个切线方向就有一条确定的法截线。在点M的法截线中曲率最大和最小的两条分别记为，它们称为主法截线在点M所对应的切线方向称为主方向，这两个方向互相垂直。的曲率半径（）称为主曲率半径，它们等于下列方程的两个根：对于曲面，方程为式中p，q，r，s，t，h见上页表。对于曲面，方程为式中E，F，G为曲面的第一基本量，L，M，N为曲面的第二基本量。主曲率半径相等的点称为曲面的脐点，在脐点上图7.25[曲率线与罗德里克公式]主方向是二次方程的两个根。满足这个微分方程的曲面曲线称为曲率线。曲率线上每点的切线方向都是主方向，曲率线构成曲面上一个正交曲线网，曲率线还有如下的一个特征：一条曲面曲线C是曲率线的充分必要条件是：沿C的曲面法...
