第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石})={,{石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2个元素：P={,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。1、对60人调查，25读《每周新闻》，26读《时代》，26人读《财富》，9人读《每周新闻》和《财富》，11读《每周新闻》和《时代》，8人读《时代》与《财富》，还有8人什么都不读，请计算：(1)阅读全部三种杂志的人数。(2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。由于8人什么都不读，故只有52人读杂志，即|A∪B∪C|=52。已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+|A∩B∩C|，故52=25+26+26-9-11-8+|A∩B∩C|，即有|A∩B∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3人。（2）注意到|S∩T|=|S|-|S∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：=|A|-|A∩B|-|A∩C|+|A∩B∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：|B|-|B∩A|-|B∩C|+|A∩B∩C|=26-11-8+3=10；只读《财富》的人为：|C|-|C∩A|-|C∩B|+|A∩B∩C|=26-9-8+3=12。2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。|篮|=14,|排|=12,|篮∩排|=6,|篮∩网|=5,|篮∩排∩网|=2，|网|=6，又6=|网∩(篮排)|=|网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|,故5+|网∩排|-2=6，故|网∩排|=3,由包含排斥原理可知会打球的人数为|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网|=14+12+6-6-5-3+2=20，故不会打球有5人。3、在1到300的整数中（1和300包含在内），分别求满足以下条件的整数个数：(1)同时能被3，5，7整除；(2)不能被3和5整除，也不能被7整除的数；(3)可以被3整除，但是不能被5和7整除；(4)可以被3或5整除，但不能被7整除；(5)只被3,5,7中一个整除的数；解：用A3表示1到300中能被3整除的数的集合，A5表示1到300中能被5整除的数的集合，A7表示1到300中能被7整除的数的集合。则有|A3|=300/3=100，|A5|=300/5=60，|A7|=300/7=42；|A3∩A5|=300/15=20，|A3∩A7|=300/21=100/7=14，|A5∩A7|=300/35=60/7=8，|A3∩A5∩A7|=2。|A3∪A5∪A7|=|A3|+|A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100+60+42-20-14-8+2=162(1)同时能被3，5，7同时整除的数的个数为|A3∩A5∩A7|=2；(2)不能被3和5整除，也不能被7整除的数的个数为|A3∩A5∩A7|=300-|A3∪A5∪A7|=300-162=138；(3)注意到|A∩B|=|A|-|A∩B|，故可被3整除但不能被5和7整除的数的个数为|A3∩A5∩A7|=|A3∩(A5∪A7)|=|A3|-|(A3∩A5)∪(A3∩A7)|=|A3|-|A3∩A5|-|A3∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68;(4)可以被3或5整除，但不能被7整除的数的个数为|(A3∪A5)∩A7|=|(A3∩A7)∪(A5∩A7)|=|A3∩A7|+|A5∩A7|-|A3∩A5∩A7|=(|A3|-|A3∩A7|)+(|A5|-|A5∩A7|)-(|A3∩A5|-|A3∩A5∩A7|)=(100-14)+(60-8)-(20-2)=120;(5)只被3,5,7中一个整除的数的个数分别为只被3整除的数：|A3|-|A3∩A5|-|A3∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68；只被5整除的数：|A5|-|A5∩A3|-|A5∩A7|+|A5∩A3∩A7|=60-20-8+2=34；只被7整除的数：|A7|-|A7∩A3|-|A7∩A5|+|A7∩A3∩A5|=42-14-8+2=22。4、求1~120之间的素数。提示：采用筛选法求不超过120之间的素数。由120<121，故<11，只要去掉2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。解：令A2，A3，A5，A7分别为1~120范围内能被2，3，5，7整除的数的集合，则1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为|A2∩A3∩A5∩A7|=120-|A2∪A3∪A5∪A7|。由于|A2|=120/2=60，|A3|=120/3=40，|A5|=120/5=24，|A7|=120/7=17；|A2∩A3|=120/6=20，|A2∩A5|=120/10=12，|A2∩A7|=120/14=...
