2025年高一数学必修一第一章知识点与习题讲解

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表达¤学习目的：通过实例，理解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不一样的详细问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表达措施、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把某些元素构成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表达措施有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ { }”括起来，基本形式为，合用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表达，基本形式为，既要关注代表元素 x，也要把握其属性，合用于无限集.3. 一般用大写拉丁字母表达集合. 要记住某些常见数集的表达，如自然数集 N，正整数集或，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R.4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表达，例如，.¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表达下列集合：（1）由方程的所有实数根构成的集合；（2）不小于 2 且不不小于 7 的整数.解：（1）用描述法表达为：； 用列举法表达为.（2）用描述法表达为：； 用列举法表达为.【例 2】用合适的符号填空：已知，，则有： 17 A； －5 A； 17 B.解：由，解得，因此；由，解得，因此；由，解得，因此.【例 3】试选择合适的措施表达下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4）（1）一次函数与的图象的交点构成的集合； （2）二次函数的函数值构成的集合；（3）反比例函数的自变量的值构成的集合.解：（1）.（2）.（3）.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合，试用列举法表达集合 A．解：化方程为：．应分如下三种状况：⑴ 方程有等根且不是：由 △=0，得，此时的解为，合．⑵ 方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合．⑶ 方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合．综上可知，．B A ． B ． C ． D ．点评：运用分类讨论思想措施，研究出根的状况，从而列举法表达. 注意分式方程易导致增根的现象.第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关...