求函数极限的方法和技巧VIP免费

求函数极限的方法和技巧作者:黄文羊摘要:本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:证:由取则当时,就有由函数极限定义有:2、利用极限的四则运算性质若(I)(II)(III)若B≠0则：（IV）（c为常数）上述性质对于例：求解:=3、约去零因式（此法适用于）例:求解:原式=====4、通分法（适用于型）例:求解:原式===5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x)满足：（I）(II)(M为正整数)则：例:求解:由而故原式=6、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若：则(II)若:且f(x)≠0则例:求下列极限①②解:由故由故=7、等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量，且有：，存在，则也存在，且有=例:求极限解:=注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限（2）10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：m、n、k、l为正整数。例：求下列函数极限①、n②解:①令t=则当时,于是原式=②由于=令：则===11、利用函数极限的存在性定理定理:设在的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x)且有:则极限存在,且有例:求(a>1,n>0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n>0时有:及又当x时,k有及=012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：==A例：设=求及由13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①②解：①令f(x)=,g(x)=l,由于但从而运用罗比塔法则两次后得到②由故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当有于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：(I)f在闭区间上连续(II)f在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点,使得此式变形可为:例:求解:令对它应用中值定理得即:连续从而有:16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有(II)当时有:①若则②若而则③若,,则分别考虑若为的s重根,即:也为的r重根,即:可得结论如下：例：求下列函数的极限①②解:①分子，分母的最高次方相同，故=②必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求解:二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求[解法一]:=注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。[解法二]:=注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]...