数学 极限与连续知识点梳理汇总VIP免费

万丈高楼平地起，打好基础最要紧．——陈景润初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则是以极限为基本工具，以变量及变量间的依赖关系，即函数关系为研究对象的一门数学课程．所谓函数关系就是变量之间的依赖关系．极限是研究微积分学的重要工具，是高等数学中最重要的概念之一，微积分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义．因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的基础．本章主要介绍变量、函数、极限等基本概念，并引出高等数学中有着广泛应用的一类重要的连续函数．1.1函数1.1.1常量与变量一、常量与变量在研究实际问题时，会遇到各种各样的量．如长度、面积、体积、时间、距离、速度等．这些量可分为两种：—种是在某种过程中保待不变的量，这种量称为常量；还有一种是在某种过程中不断改变的量，这种量称为变量．注意：一个量是常量还是变量，要视具体情况而定．例如，物体在做自由落体运动过程中，在一定高度内重力加速度可看作常量，但超出一定高度时，重力加速度则应看作变量．常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．对某一问题，变量只能在一定范围内取值．为简便起见，变量的取值范围常用区间表示．常用区间有以下几种，列表如下（表1.1）：表1.1名称记号集合表示法图示闭区间开区间半开半闭区间无穷区间特别地，称为点a的邻域，（其中a，是实数，且>0），记作：U(a，)，点a叫做这个邻域的中心．叫做这个邻域的半径.如图1.1所示．即点a的邻域去掉中心a后，称为a的空心邻域，记作(a，)．如图1.2所示.即(a，)=｛x|0<｜xa｜<｝1.1.2函数的概念一、函数的定义定义设有两个非空实数集D，M，如果对于数集D中的每一个数x，按照确定的法则f，在数集M中有唯一的一个数y与之对应，则称y是在对应法则f作用下关于x的在数集D上的函数．记作y=f(x)，x称为自变量，y称为因变量．数集D称为函数的定义域，数集W=｛y|y=f(x)，xD｝称为函数的值域，显然WM，与x对应的y的数值称为函数f在x处的函数值．函数y=f(x)中表示对应法则的记号f也可改用其他字母，例如“”，“F”，等．这时函数就记作y=(x)，y=F(x)，等．在研究同一问题时出现的不同函数，应该用不同的记号．如果对自变量x的某一个值x0有确定的y值f(x0)与之对应，就说函数y=f(x)在x0有定义．函数的定义域是自变量的取值范围．定义域和对应关系是函数的两个基本要素．两个函数只有定义域和对应关系完全相同时，才被认为是相同的．例如，函数，它们的定义域和对应关系都相同，所以是相同的函数．又如，函数，它们的定义域不同，所以是不同的函数．如果自变量在定义域内取某些数值时，对应多个y值，就称这个对应规则为多值函数，而一个x有唯一的y值与之对应的情形，又称为单值函数．以后若无特别说明，函数都是指单值函数．函数可以用公式法、图形法、表格法等给出．在实际问题中，还会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示，如电子技术中的矩形脉冲这种函数称为分段函数．注意：分段函数在整个定义域上是一个函数，而不是几个函数，求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中计算．二、函数的定义域研究函数必须注意函数的定义域．在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义来确定．若不涉及实际问题，其定义域就是使函数表达式本身有意义的自变量的取值范围．例如：（1）在分式中，分母不能为零．（2）在实数范围内，负数不能开偶次方．（3）在对数式中，真数要大于零．（4）在三角函数和反三角函数中，要使三角函数和反三角函数有意义．（5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式、三角函数式或反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集．【例1.1.1】求下列函数的定义域：，使其有意义，须故：函数的定义域为．，使其有意义，须即故：函数的定义域为，使其有意义，须1≤≤1即3≤x+1≤3,4≤x≤2故：函数的定义域为1.1.3函数的几种特性函数的四个特性在初等数学中已作详细介绍，在此将定义和几何意义列表如下(表1.2)，以方便复习之用（表中Ｄ为函数f(x)定义域）.表１.2特性定义图像几何意义有界性设区...