2008年重庆地区数学学科求数列通项的类型及解法

求数列通项的类型及解法重庆市黔江新华中学 侯建新（QQ：104804865）1.形如型（1）若 f(n)为常数,即：,此数列为等差数列，则=.（2）若 f(n)为 n 的函数时，则用累加法（叠加法）.例 1：已知数列的首项为 6，且（1）、写出数列的前 5 项并归纳总结出通项公式；（2）、利用累加法（叠加法）求出该数列的一个通项公式。练习 1.已知数列的首项为 1，且写出数列的通项公式. 答案：练习 2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 例 2. （2003 天津文） 已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得： = .评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,用心 爱心 专心又得,所以,又,,则2.形如型（1）当 f(n)为常数，即：（其中 q 是不为 0 的常数），此时数列为等比数列，则=.（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法（叠乘法）. 例 1 已知数列｛an｝满足，，求。解：方法 1（递推法）：…。方法 2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。例 2.设是首项为 1 的正项数列，且（ =1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，用心 爱心 专心==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习 1.在数列中，已知有，求数列的通项公式。解又也满足上式 练习 2. 已知数列满足，求通项公式？（）3.形如型（1）若（d 为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，再分奇偶项来求通项.例 1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.解：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列;用心 爱心 专心构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列. 评注：结果要还原成 n 的表达式.练习 1.（2005 江西卷）已知数列{an}的前 n 项和 Sn满足Sn...