§2.4 抛物线典例剖析 知识点一 抛物线概念的应用 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．解 将 x=3 代入抛物线方程y2=2x，得 y=±.>2，∴点 A 在抛物线内部．设抛物线上点 P 到准线 l：x= 的距离为 d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当 PA⊥l 时，|PA|+d 最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2=2x，得 x=2，∴点 P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线 x－2y－4＝0 上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出 p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得 2p＝，或 2p＝，故抛物线的标准方程为 y2＝－x，或 x2＝y.(2)① 令 x＝0，由方程 x－2y－4＝0，得 y＝－2.∴抛物线的焦点为 F(0，－2)．设抛物线方程为 x2＝－2py，则由＝2，得 2p＝8.∴所求的抛物线方程为 x2＝－8y.② 令 y＝0，由 x－2y－4＝0，得 x＝4.∴抛物线的焦点为 F(4,0)．设抛物线方程为 y2＝2px，由＝4，得 2p＝16.∴所求抛物线方程为 y2＝16x.知识点三 抛物线在实际中的应用 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是 24 cm，灯深 10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离用心 爱心 专心1解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10，所以点 A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为 y2=2px(p>0)．由点 A(10,12)在抛物线上，得 122=2p×10，∴p=7.2.抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆 9x2＋4y2＝36 可化为＋＝1，得抛物线的对称轴为 x 轴．设抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则有||＝3，∴|a|＝12，即...
