函数综合性大题1.已知函数（1）求在区间上的最大值（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，用心 爱心 专心当充分接近 0 时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为1.设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围；（3）若当时（k 是与无关的常数），恒有，试求 k 的最小值．解：（1），由题意及导数的几何意义得， （1）， （2） 又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得， （3） 将代入（2）得，即方程有实根．故其判别式得，或， （4） 由（3），（4）得； （2）由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，用心 爱心 专心又由知，为方程（ ）的一个实根，则有根与系数的关系得， 当或时，，当时，，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由（Ⅰ）知得的取值范围为； （3）由，即，即，因为，则，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立， 故 即得或，由题意，，故，因此的最小值为．2.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （Ⅰ）设，试求函数的表达式； （Ⅱ）是否存在 ，使得、 与三点共线．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． .解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，用心 爱心 专心又切线过点， 有，即， ………………………………………………（1） 同理，由切线也过点，得．…………（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， ………………（ * ） ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为． （Ⅱ）当点、与共线时，，＝，即＝，化简，得，，． ………………（3） 把（*）式代入（3），解得．存在 ，使得点、与三点共线，且 ． （Ⅲ）易知在区间上为增函数，，则．依题意，不等式对一切的正整数 恒成立， ，即对一切的正整数 恒成立，．用心 爱心 专心，...
