第三编 导数及其应用§3.1 导数的概念及运算1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为 .答案 Δx+22.已知 f(x)=sinx(cosx+1)，则 f′(x)= .答案 cos2x+cosx3.若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数 a,b 满足 a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.①af(b)＞bf(a)②af(a)＞bf(b)③af(a)＜bf(b)④af(b)＜bf(a)答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设 P 为曲线 C：y=x2+2x+3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是，则点 P 横坐标的取值范围为 .答案 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线 y=eax在点（0，1）处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直，则 a= .答案 2更多成套系列资源请您访问：http://jsgk.taobao.com谢谢您对我们的帮助支持！基础自测例 1 求函数 y=在 x0到 x0+Δx 之间的平均变化率.解 Δy===，∴=.例 2 求下列各函数的导数：（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解 （1） y==x+x3+，∴y′=（x）′+(x3)′+(x-2sinx)′=-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3） y=-sin(-cos)=sinx，∴y′=(sinx) ′= （sinx）′=cosx.（4）y=+==，∴y′=()′==.例 3 求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解 （1）设 u=1-3x,y=u-4.则 y x′=y u′·ux′=-4u-5·（-3）=.(2)设 y=u2,u=sinv,v =2x+,则 y x′=y u′·u v′·v x′=2u·cosv·2=4sin·cos=2sin.(3)y′=(x)′=x′·+x·（)′=+=.例 4 （14 分）已知曲线 y=x3+.(1)求曲线在 x=2 处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1） y′=x2,∴在点 P（2，4）处的切线的斜率 k=y′|x=2=4.3 分∴曲线在点 P（2，4）处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.6 分（2）设曲线 y=x3+与过点 P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y′|=x02.8 分∴切线方程为 y-(x03+)=x02(x-x0),即 y=x02·x-x03+.10 分 点 P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+,即 x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴x02 (x0+1)-...
