数列与函数的极限(2)一、知识回顾1、函数的极限1) 当 x→∞时函数 f(x)的极限:;; 当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a,记作,(或 x→+∞时,f(x)→a)当自变量 x 取负值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于负无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a,记作,(或 x→-∞时,f(x)→a)注:自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的,而 x→∞是双向的,故有以下等价命题令,分别求2) 当 x→x0时函数 f(x)的极限:; ; 如果当 x 从点 x=x0左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0时,函数 f(x)无限趋近于常数 a。就说 a 是函数 f(x)的左极限,记作。如果当 x 从点 x=x0右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0时,函数 f(x)无限趋近于常数 a。就说 a 是函数 f(x)的右极限,记作。注:1与函数 f(x)在点 x0处是否有定义及是否等于 f(x0)都无关。2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注:极限不存在的三种形态:①左极限不等于右极限;②时,,③时,的值不唯一。4)函数极限的运算法则:若,,那么;;;;。注:以上规则对于 x→∞的情况仍然成立。5 ) 两 个 重 要 的 极 限 :; 和 一 个 法 则 : 罗 必 塔 法 则 :2、函数的连续性(1)函数连续性的概念:① 如果函数 f(x)在 x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数 f(x)在 x=x0处连续。注:函数 f(x)在 x=x0处连续必须具备三个条件:Ⅰ)函数 f(x)在 x=x0处及其附近有定义;Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0处有极限;Ⅲ)函数 f(x)在 x=x0处的极限值等于这一点处的函数值 f(x0)。② 右连续(或左连续):如果函数 f(x)在 x=x0 处及其右侧(或左侧)有定义,而且(或)。③ 若函数 f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在 a 点右连续,b 点左连续,则称 f(x)在闭区间[a,b]上连续。注:函数 f(x)在(a,b)内连续,只要求在(a,b)内每一点都连续即可,对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:① 若 f(x),g(x)都在点 x0处连续,则 f(x)±g(x),f(x)•g(x),(g(x)≠0)也在点 x0处连续。② 若 u(x)都在点 x0处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0处连续。(3)初等函数的连续性:① 基本初等函数(指数函数,对数函数,三角函数等)在定义域里每一点处都连续。② 基本初等...