难点 14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x=22t处取得最小值－ 42t (t＞0),f(1)=0.(1)求 y=f(x)的表达式；(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用 t 表示an 和 bn；(3)设圆 Cn 的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记 Sn 为前 n 个圆的面积之和，求 rn、Sn.●案例探究［例 1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 51，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 41.(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧. 解：(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800×(1－ 51)万元，…第 n 年投入为 800×(1－51)n－1 万元，所以，n 年内的总投入为 an=800+800×(1－ 51)+…+800×(1－ 51)n－1=nk 1 800×(1－ 51)k－1=4000×［1－( 54)n］ 第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收...
