2010 高三数学精品讲练系列学案不等式一、典型例题已知 f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求 f(3)的取值范围。分析：从条件和结论相互化归的角度看，用 f(1)，f(2)的线性组合来表示 f(3)，再利用不等式的性质求解。设 f(3)=mf(1)+nf(2)∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c∴ ∴ ∴ f(3)= -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴ ≤≤,≤≤∴ -1≤f(3)≤20说明：1、本题也可以先用 f(1)，f(2)表示 a，c，即 a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后代入 f(3)，达到用 f(1)，f(2)表示 f(3)的目的。 2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5 中解出 a，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求 f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。本题还可用线性规划知识求解。设 a>0，b>0，求证：≥。分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= ≥0∴ 左≥右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 ≥ ≥∴ 两式相加得：≥设实数 x，y 满足 y+x2=0，0
0，y>0，a>0∴ 由>0 得 y-b>0∴ x+y≥当且仅当，即时，等号成立途径二：令，，∈（0，）∴ ，∴ x+y=≥当且仅当时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例 5、已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b解关于 a 的不等式 f(1)>0；当不等式 f(x)>0 的解集为（-1，3）时，求实数 a，b 的值。分析：f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 f(1)>0 ∴ a2-6a+3-b<0=24+4b当 b≤-6 时，△≤0∴ f(1)>0 的解集为 φ；当 b>-6 时，∴ f(1)>0 的解集为 （2） 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0 的解集为（-1，3）∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解 3x2-a(6-a)x-b<0 解集为（-1，3）∴ 解之得例 6、设 a，b∈R，关于 x 方程 x2+ax+b=0 的实根为 α，β，若|a|+|b|<1，求证：...
