第 2 课时 等比数列的性质思路方法技巧命题方向 运用等比数列性质 an=am·qn-m (m、n∈N+)解题［例 1］ 在等比数列{an}中，若 a2=2,a6=162,求 a10.［分析］ 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得 q,再求 a10.［解析］ 解法一：设公比为 q,由题意得a1q=2 a1= a1=- ，解得 ，或 .a1q5=162 q=3 q=-3∴a10=a1q9=×39=13122 或 a10=a1q9=-×（-3）9=13122.解法二： a6=a2q4,∴q4===81,∴a10=a6q4=162×81=13122.解法三：在等比数列中，由 a26=a2·a10得a10===13122.［说明］ 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用 1 已知数列{an}是各项为正的等比数列，且 q≠1,试比较 a1+a8与 a4+a5的大小.［解析］ 解法一：由已知条件 a1>0,q>0，且 q≠1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·（1-q4）=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,显然，a1+a8>a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当 01 时，此正数等比数列单调递增，1-q3与 a1-a5同为负数， (a1+a8)-(a4+a5)恒正.∴a1+a8>a4+a5.命题方向 运用等比数列性质 am·an=apaq(m,n,p,q∈N+,且 m+n=p+q)解题［例 2］ 在等比数列{an}中，已知 a7·a12=5，则 a8·a9·a10·a11=（ ）A.10 B.25 C.50 D.75［分析］ 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.［答案］ B［解析］ 解法一： a7·a12=a8·a11=a9·a10=5，∴a8·a9·a10·a11=52=25.解法二：由已知得 a1q6·a1q11=a21q17=5，用心 爱心 专心1∴a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17) 2=25.［说明］ 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立 a1,q 的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用 2 在等比数列{an}中，各项均为正数，且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求 a4+a8.［解析］ a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.又 a4a8=5,an>0,∴a4+a8===.探索延拓创新命题方向 等比数列性质的综合应用［例...
