2012-2013学年高中数学 1.2.1等差数列的概念及通项公式2学案 北师大版必修5

§2 等 差 数 列第 1 课时 等差数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向 等差数列的定义及应用［例 1］ 判断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.［分析］ 利用等差数列定义，看 an+1-an是否为常数即可.［解析］ (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由 n 的任意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.［说明］ 利用定义法判断等差数列的关键是看 an+1-an得到的结论是否是一个与 n 无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴. 1 n=1变式应用 1 试判断数列｛cn｝，cn= 是否为等差数列. 2n-5 n≥2［解析］ c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.∴{cn}不是等差数列.命题方向 等差数列通项公式的应用［例 2］ 已知数列{an}为等差数列，且 a5=11,a8=5,求 a11.［分析］ 利用通项公式先求出 a1和 d，再求 a11，也可以利用通项公式的变形形式 an=am+(n-m)d求解.［解析］ 解法一：设数列{an}的首项为 a1,公差为 d，由等差数列的通项公式及已知，得 a1+4d=11 a1=19 解得 .a1+7d=5 d=-2∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.解法二： a8=a5+(8-5)d,∴d===-2.∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.［说明］ (1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出 a1和 d，确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为 d=，应注意掌握对它的灵活应用.变式应用 2 已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断 91 是否为此数列中的项. a10=a1+9d=29［解析］ 设等差数列的公差为 d,则有 ， a21=a1+20d=62解得 a1=2,d=3.∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.用心 爱心 专心1令 an＝3n-1=91,得 n=N+.∴91 不是此数列中的项.命题方向 等差中项的应用［例 3］ 已知 a,b,c 成等差数列，那么 a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？［分析］ 已知 a,b,c 成等差数列，由等差中项的定义，可知 a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件 a+c=2b.［解析］ 因为 a,b,c 成等差数列，所以 a+c=2b,又 a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a...