证明线面垂直的四种方法直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。一、运用直线与平面垂直的判定定理 若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。例 1 如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2，D为 CC1的中点，求证 AB1⊥平面 A1BD。证明：由题意知，四边行 ABB1A1是正方形，则 AB1⊥A1B；取 BC 中点 E，连 AE，EB ，则 AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面 ABC，故 AE⊥面 BB1C1C，又 BD面 BB1C1C，所以 AE⊥BD，在正方形 BB1C1C 中又 D 为CC1中点，易证△BCD≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故 EB⊥BD，又 AE∩EB=E，∴BD⊥平面 AEB1，∴BD⊥AB1，又 A1B∩BD=B，故 AB1⊥平面 A1BD。点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。二、运用直线与平面垂直的第二判定定理 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。例 2 已知 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。证明：如图，要证 l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只需证 l 平行于 γ 的一条垂线即可。设 α∩γ=c，β∩γ=d，在 α内任取一点 A，作 AQ⊥c 于 Q，则 AQ⊥γ。同理，在 β 内任取一点B，作 BR⊥d 于 R，则 BR⊥γ，且 AQ∥BR。又AQβ，BRβ，故 AQ∥β，由 α∩β=l，得 AQ∥l，而 AQ⊥γ，故 l⊥γ。点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。例 3 如图，已知 ABC—A1B1C1为正三棱柱，D、E 分别为 AC、A1C1的中点，CF⊥C1D 于 F，求证：CF⊥平面 B1EA。证明： 正三棱柱 ABC—A1B1C1中，D、E 分别是 AC、A1C1的中点。∴BB1平行等于 DE，∴四边形 BB1ED 是平行四边形，∴B1E∥BD，又 EC1平行等于 AD，四边形 EC1DA 是平行四边形，∴AE∥C1D，∴平面1B1EA∥平面 BC1D ；在正三棱柱中，由侧面 A1C1CA⊥底面 ABC，又易知 BD⊥AC，则 BD⊥平面ACC1A1，又 BD平面 BDC1，∴平面 BDC1⊥平面 ACC1A1，且交线为 C1D...
