2012届高中数学 1.7.2例析空间几何体的体积问题素材 北师大版必修2

例析空间几何体的体积问题近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积、表面积。体积的计算，是定量研究几何体的重要内容与方法.对一些常用公式要牢记，包括柱体、锥体和球体的体积公式。下面给出一些典型例题希望对大家有帮助。一直接考查体积公式例 1：养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M （底面直径不变）。（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？ 解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积23111162564()3323VShM   如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积23211122888()3323VShM   （2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M 。 棱锥的母线长为22844 5l 则仓库的表面积218 4 532 5 ()SM  如果按方案二，仓库的高变成8M 。 棱锥的母线长为228610l  则仓库的表面积226 1060 ()SM  （3）21VV ，21SS 方案二比方案一更加经济练习：正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 .解 ： 如 图 ， 在 △ OPA 中 ， 因 为 ， 所 以 正 四 棱 锥 的 高 为 ，故正四棱锥的体积为 从而应填．二 巧妙变形考查体积公式1例 2 将边长为的正方体沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 ．解析：先作图如下： 对照平面图形（图 1）和立体图形（图 2）反复观察，不难发现，折叠前的线段 DO 和 BO，它们在折叠后的长度未变，仍为.由勾股定理不难算出∠DOB=90°.折叠前与 AC 垂直的线段BD 虽被折成两段，但与 AC 的垂直关系并没有改变，即 DO⊥AC.因此易知 DO 即为三棱锥的高，从而易求出三棱锥的体积．点评：在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换，折叠（旋转）和展开就是两种常见的图形变换形式. 把平面图形按照一定的规则进行折叠（旋转），得到空间几何体，进而研究其性质，是一种常见的题型.解这类问题的关键是要分清折叠（旋转）前后的位置关系与数量关系的变与不变...