第 1 课时 椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是 ．② 当 2a＜|F1F2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数 ，且 的点的轨迹叫椭圆．定点 F 是椭圆的 ，定直线 l 是 ，常数 e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中 a，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断？3．椭圆的几何性质(对,a > b >0 进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率： ( 与 的比)， ， 越接近 1，椭圆越 ；越接近 0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则 ，= 。4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r1＋r2＝2a(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c) 2(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中 P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)变式训练 2：已知 P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以 PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 典型例题基础过关证明 设以 PF2为直径的圆心为 A，半径为 r. F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结 OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以 PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例 3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于 A、B 两点，与抛物线交于 C、D 两点．当直线 与 x 轴垂直时，．（1）求椭圆的方程；（2）求过点 O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点．设椭圆的方程：． 解方程组 得 C（-1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称，∴，， ∴ ． …………2 分∴又，因此，，解得并推得． 故椭圆的方程为 ． …………4 分（2）， 圆过点 O、，圆心 M 在...
