８．2（2） 向量的数量积（2） 教学目标设计1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．教学重点及难点重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入：1．复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量的夹角为 （），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与 任何向量的数量积为 0．(3) “投影”的概念：定义：叫做向量在方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角1时投影为 0；当 = 0时投影为；当 = 180时投影为．(4)向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．(5)向量的数量积的运算性质：对于，有（1）当且仅当时，＝（2）（3）（4）２．分析思考： (1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？学生通过讨论，回答：一般不成立(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为， 则由知二．学习新课:1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足 2因此,当时,,反之,当时, .考虑到可与任何向量垂直,所以可得：两个向量垂直的充要条件是．２.例题分析例 1：化简:．(课本 P66 例 2)解: ===例 2:已知,且与的夹角为,求．(课本 P66 例 3)解: 所以 例 3：已知,垂直,求的值．(课本 P66 例 4)解： 因为垂直，所以 化简得 3 即 由已知，可得 解得 ． 所以，当时，垂直．例 4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．解：由 ① ②两式相减：代入①或②得：设、的夹角为，则 ∴ = 60３.问题拓展例 5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．证明：设 AB 是⊙O 直径，半径为 r ...
