2013 年高中数学 1.2 3 高阶导数教案 新人教 A 版选修 2-2教学内容：高阶导数的定义与计算。教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。教学重点：高阶导数的定义与计算。教学难点：高阶导数的计算。教学方法：讲授与练习。教学学时：2 学时。● 引言： 我们已经知道，一个可导函数的导（函）数仍然是一个函数，这个函数我们又可以讨论它的可导性与导（函）数，以此类推，就产生的函数的一系列导数的问题，这些就是本节课我们将要学习的高阶导数的内容。一、引例：先看一个物理问题：已知物体运动位移与时间关系为，求它在某一时刻的加速度。 速度是位移的变化率，即：； 加速度是速度的变化率，即： 可见，加速度就是位移的导数的导数，也就是我们将要介绍的位移的二阶导数。同时也看到，研究高阶导数是有其实际价值的。二、高阶导数的定义：定义 若函数的导函数在点可导，则称函数在点二阶可导，并称在点的导数为在点的二阶导数，记作，，…，即：1 一般的，若函数的阶导函数在点可导，则称函数在点阶可导，并称在点的导数为在点的阶导数，记作，，…，即： 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数在区间 上每一点都可导，即，有在点的唯一 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为在 上的 阶导函数，简称为在 上的 阶导数，记作：。三、高阶导数的计算：函数 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则 次即可。除此之外我们再介绍两个计算函数 阶导数的计算公 式。 1．。 2．设，则；； ； 依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式展开式极为相似）：2 ， 其中，。四、高阶导数求解举例：例 1．求幂函数的各阶导数。解：；；；…； ；；。例 2．求指数函数的各阶导数。解：。例 3．求函数（ 为常数）的各阶导数。解：；；；…；例 4．求三角函数与的各阶导数。解：；；；3；…；一般地，，类似可得，，例 5．求函数的 5 阶导数。解： 由莱布尼茨公式得： 例 6．求函数的 20 阶导数。解：设，则，，…，；，则，，；由莱布尼茨公式得： 例 7．研究函数的高阶导数。4解：；；。注：此题的解法对分段函数是具有一般性的，我们应该熟练掌握。例 8．试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数。解： y aa 0 x 由含参量方程求导法则的：；再对参量方程应用含参量方程求导法则有：【作业布置】 P109：1、2、3、4、5、65
