2013届高中数学竞赛教案讲义（15）复数

第十五章 复数一、基础知识1．复数的定义：设 i 为方程 x2=-1 的根，i 称为虚数单位，由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。2 复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么 z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数 z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设 z 对应复平面内 的 点 Z ， 见 图 15-1 ， 连 接 OZ ， 设 ∠ xOZ=θ,|OZ|=r ， 则 a=rcosθ,b=rsinθ, 所 以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ+isinθ)，则 θ 称为 z 的辐角。若0≤θ<2π，则 θ 称为 z 的辐角主值，记作 θ=Arg(z). r 称为 z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22ba .如果用 eiθ表示 cosθ+isinθ，则 z=reiθ，称为复数的指数形式。3．共轭与模，若 z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121zzzz；（2）2121zzzz；（3）2|| zzz；（4）2121zzzz；（5）||||||2121zzzz；（6）||||||2121zzzz；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则zz1。4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则 ； （ 3 ） 按 三 角 形 式 ， 若 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2) ， 则1z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0rrzzz[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),.)(212121 ierrzz5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.开方：若nwr(cosθ+isinθ)，则)2sin2(cosnkinkrwn，k=0,1,2,…,n-...