5.4 平面向量的应用考情分析高考中常以选择或填空的形式考查向量的基本知识，还可以作为工具整合于三角、解析几何的解答题中，重点考查向量的概念和线性运算、数量积。基础知识1、 向量在平面几何中的应用：（1）证明线线平行或点共线问题（2）证明或判断垂直问题（ 3 ） 求 线 段 长 主 要 利 用 向 量 的 模（ 4 ） 求 夹 角 问 题 ， 主 要 利 用 数 量 积 的 变 形 公 式2、 平面向量在物理学中的应用（ 1）物理中的力、速度、位移都是向量，它们的合成与分解是向量的加减法的具体应用（2）功 W 是一个标量，它是力 f 与位移 s 的数量积3、 平面向量作为工具常和函数、不等式、三角、解析几何、数列等综合考查。注意事项1.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．2.( 1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 题型一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】平面上 O，A，B 三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB 的面积等于( )． A. B.C. D.解析 cos∠BOA＝，则 sin∠BOA＝ ，∴S△OAB＝|a||b| ＝.答案 C【变式 1】 设 a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )．A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积C．以 a，b 为两边的三角形的面积D．以 b，c 为两边的三角形的面积解析 |b·c|＝|b||c||cos θ|，如图， a⊥c，∴|b||cos θ|就是以 a，b 为邻边的平行四边形的高 h，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|b·c|表示以 a，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 A考向二 平面向量与三角函数的交汇【例 2】已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设 c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若 a＋λb 与 a 垂直，求 λ 的值；(3)求向量 a 在 b 方向上的投影．解：(1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于 a＋λb 与 a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)...
