第3讲平面向量的数量积及应用板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·许昌模拟]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10答案B解析由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得＝，解得y＝－2.所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.故选B.2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2答案A解析AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，即a·b≤|a|2.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，∴θ∈.故选B.5．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2AM，则CM·CA＝()A．18B．3C．15D．12答案A解析由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝3，AM＝BA，故CM·CA＝(CA＋AM)·CA＝CA2＋AM·CA＝9＋(CA－CB)·CA＝9＋CA2－CB·CA＝9＋9－0＝18.故选A.6．[2018·济宁模拟]平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形答案C解析因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.7．[2018·重庆模拟]已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.故选C.8．[2018·南宁模拟]已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.答案解析由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.9．[2018·北京东城检测]已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.答案8解析由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则AD·BC＝________.答案－解析利用向量的加减法法则可知AD·BC＝(AB＋AC)·(－AB＋AC)＝(－AB2＋AC2)＝－.[B级知能提升]1．[2018·石家庄模拟]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A.B.C．2D．3答案D解析设∠A＝θ，因为BC＝AC－AB，AB＝4，AC＝3，所以AC·BC＝AC2－AC·AB＝9－AC·AB＝1.AC·AB＝8.cosθ＝＝＝，所以BC＝＝3.故选D.2．在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．答案2解析由已知得AB＝(－3,3)，设C(x，y)，则OC·AB＝－3x＋3y＝0，所以x＝y.AC＝(x－3，y＋1)．又AC＝λOB，即(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，所以由x＝y得，y＝3，所以λ＝2.3．[2018·东营模拟]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为________．答案解析由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.4．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0.∴λ＞－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，λ＞－且λ≠0.5．[2017·全国卷Ⅱ改编]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求PA·(PB＋PC)的最小值．解解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有PB＋PC＝2PD，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝2(PE＋EA)·(PE－EA)＝2(PE2－EA2)．而AE2＝2＝，当P与E重合时，PE2有最小值0，故此时PA·(PB＋PC)取最小值，最小值为－2EA2＝－2×＝－.解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝2(－1－x，－y)·＝2＝2.因此，当x＝－，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为2×＝－.
