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高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用增分练-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用增分练-人教版高三全册数学试题_第1页
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第3讲平面向量的数量积及应用板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.[2018·许昌模拟]设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.B.C.2D.10答案B解析由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2.由b∥c,得=,解得y=-2.所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=.故选B.2.[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=()A.5B.4C.3D.2答案A解析AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD·AC=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.故选A.3.[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA=,BC=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析cos∠ABC==,所以∠ABC=30°.故选A.4.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由于|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则|a|2-4a·b≥0,即a·b≤|a|2.设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=≤=,∴θ∈.故选B.5.在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足BM=2AM,则CM·CA=()A.18B.3C.15D.12答案A解析由题意可得△ABC是等腰直角三角形,AB=3,AM=BA,故CM·CA=(CA+AM)·CA=CA2+AM·CA=9+(CA-CB)·CA=9+CA2-CB·CA=9+9-0=18.故选A.6.[2018·济宁模拟]平面四边形ABCD中,AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形答案C解析因为AB+CD=0,所以AB=-CD=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.又(AB-AD)·AC=DB·AC=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.故选C.7.[2018·重庆模拟]已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=.故选C.8.[2018·南宁模拟]已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=________.答案解析由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,所以α·β=,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,所以|2α+β|=.9.[2018·北京东城检测]已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=________.答案8解析由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c|==8.10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边BC的中点,则AD·BC=________.答案-解析利用向量的加减法法则可知AD·BC=(AB+AC)·(-AB+AC)=(-AB2+AC2)=-.[B级知能提升]1.[2018·石家庄模拟]在△ABC中,AB=4,AC=3,AC·BC=1,则BC=()A.B.C.2D.3答案D解析设∠A=θ,因为BC=AC-AB,AB=4,AC=3,所以AC·BC=AC2-AC·AB=9-AC·AB=1.AC·AB=8.cosθ===,所以BC==3.故选D.2.在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(3,-1),OB=(0,2).若OC·AB=0,AC=λOB,则实数λ的值为________.答案2解析由已知得AB=(-3,3),设C(x,y),则OC·AB=-3x+3y=0,所以x=y.AC=(x-3,y+1).又AC=λOB,即(x-3,y+1)=λ(0,2),所以由x=y得,y=3,所以λ=2.3.[2018·东营模拟]若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为________.答案解析由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为cosθ===.又0≤θ≤π,所以θ=.4.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解∵a与a+λb均为非零向量,且夹角为锐角,∴a·(a+λb)>0,即(1,2)·(1+λ,2+λ)>0.∴(1+λ)+2(2+λ)>0.∴λ>-.当a与a+λb共线时,存在实数m,使a+λb=ma,即(1+λ,2+λ)=m(1,2),∴解得λ=0.即当λ=0时,a与a+λb共线,综上可知,λ>-且λ≠0.5.[2017·全国卷Ⅱ改编]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,求PA·(PB+PC)的最小值.解解法一:设BC的中点为D,AD的中点为E,则有PB+PC=2PD,则PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(PE+EA)·(PE-EA)=2(PE2-EA2).而AE2=2=,当P与E重合时,PE2有最小值0,故此时PA·(PB+PC)取最小值,最小值为-2EA2=-2×=-.解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(-1-x,-y)·=2=2.因此,当x=-,y=时,PA·(PB+PC)取得最小值,为2×=-.

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