12.2 排列与组合典例精析题型一 排列数与组合数的计算【例 1】 计算:(1);(2) C+C+…+C.【解析】(1)原式===-.(2)原式=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=C=330.【点拨】在使用排列数公式 A=进行计算时,要注意公式成立的条件:m,n∈N+,m≤n.另外,应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练 1】解不等式x9A >629A x.【解析】原不等式即>6×,也就是>)!9)10()11(6xxx,化简得 x2-21x+104>0, 解得 x<8 或 x>13,又因为 2≤x≤9,且 x∈N*,所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.题型二 有限制条件的排列问题【例 2】 3 男 3 女共 6 个同学排成一行.(1)女生都排在一起,有多少种排法?(2)女生与男生相间,有多少种排法?(3)任何两个男生都不相邻,有多少种排法?(4)3 名男生不排在一起,有 多少种排法?(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 位女生,女生又不能排在队伍的两端,有几种排法?【解析】(1)将 3 名女生看作一人,就是 4 个元素的全排列,有 A 种排法.又 3 名女生内部可有A 种排法,所以共有 A·A=144 种排法.(2)男生自己排,女生也自己排,然后相间插入(此时有 2 种插法),所以女生与男生相间共有2A·A=72 种排法.(3)女生先排,女生之间及首尾共有 4 个空隙,任取其中 3 个安插男生即可,因而任何两个男生都不相邻的排法共有 A·A=144 种.(4)直接分类较复杂,可用间接法.即从 6 个人的排列总数中,减去 3 名男生排在一起的排法种数,得 3 名男生不排在一起的排法种数为 A-AA=576 种.(5)先将 2 个女生排在男生甲、乙之间,有 A 种排法.又甲、乙之间还有 A 种排法.这样就有A·A 种排法.然后把他们 4 人看成一个元素(相当于一个男生),这一元素及另 1 名男生排在首尾,有 A 种排法.最后将余下的女生排在其间,有 1 种排法.故总排法为 AAA=24 种.【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制主要表现在:某些元素“排”或“不排”在哪个位子上,某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题,在分析时,主要按照“优先”原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子,对于“相邻”问题可用“捆绑法”,对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题,可以采用间接法.【变式训练 2】把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺...