§3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 知识点一 向量基底的判断已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量 a＋b，a－b，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？解 a＋b，a－b，c 不共面，能构成空间一个基底．假设 a＋b，a－b，c 共面，则存在 x，y，使 c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c 与 a，b 共面．这与 a、b、c 不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c 不共面．【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．以下四个命题中正确的是( )A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则 a，b，c 全不是零向量C．△ABC 为直角三角形的充要条件是·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案 B解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故 A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故 C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故 D 不正确，故选B.知识点二 用基底表示向量在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·OC＝a，AD＝b，AA′＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 是 CA′上的点，且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： （1） ； (2)AM；(3) ； (4)AQ.解 连结 AC、AD′.（1） = = ＝(a＋b＋c)；(2)AM＝(AC＋) = ＝a＋b＋c；(3) = (AC′＋AD′)＝[( ) ＋(AD＋AA′)]＝(＋2AD＋2AA′)＝a＋b＋c；(4) ＝AC＋CQ＝AC＋(AA′－AC)＝＋AD＋AA′＝a＋b＋c.【反思感悟】 利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．已知三棱锥 A—BCD.(1)化简(＋AC－AD)并标出化简结果的向量；(2)设 G 为△BCD 的重心，试用，AC，AD表示向量AG. 解 (1)设 AB，AC，AD 中点为 E，F，H，BC 中点为 P.＋AC－AD)＝AE ＋ = －AH＝HP.（2）＝AP＋PG = AP＋PD= AP ＋(AD－AP)＝AP＋AD＝·( ＋AC)＋AD＝( ＋AC＋AD)．知识点三 求空间向量的坐标已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB，PC 的三等分点且 PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标． 解 PA=AB=AD=1，且 PA 垂直于平面 ABCD，AD⊥AB，...
