2014高中数学 第二章 平面向量 平面向量的数量积学习过程 新人教A版必修4

平面向量的数量积学习过程知识点一：平面向量的数量积（1）定义：：已知两个非零向量与，它们的夹角是 θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，（０≤θ≤π）（2）.并规定与任何向量的数量积为 0.（3）投影：“投影”的概念：作图 ① 定义：||cos叫做向量在方向上的投影.② 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 ||；当 = 180时投影为 ||.（4）两个向量的数量积与向量同实数积的区别① 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.当 0°≤＜90°时，＞0；当=90°时，=0；当 90°＜≤180°时，＜0.② 两个向量的数量积称为内积，写成；.符号“· ”在向量运算中 不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. ③ 在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出.因为其中 cos有可能为 0.（5）平面向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积.注意：在方向上投影可以写成（6）平面向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，①    = 01② 当与同向时， = ||||；当与反向时，= ||||. 特别的 = ||2 或③ ④cos =，利用这一关系，可求两个向量的夹角。（7）平面向量数量积的运算律①．交换律：②．数乘结合律：()= () = ()③．分配律：(+)= +  说明：①一般地，(·)·≠·（·）②·＝·，≠0＝③ 有如下常用性质：（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·知识点二：平面两向量数量积的坐标表示（1）已知两个非零向量，则·2121yyxx，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示① 设，则.② 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11 yx、),(22 yx，那么 （3）注意：若A),(11 yx、B),(22 yx，则,所 以的实质是 A,B 的两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。2（4）两个向量垂直的条件设，则  （5）两向量夹角的余弦公式（6）设两个非零向量，是与的夹角，则有 cos==学习结论（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.（2）数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。（3）两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，...