2014高中数学 第二章数列 等比数列前n项和学习过程 新人教A版必修5

2.5 等比数列前 n 项和学习过程知识点：等比数列的前 n 项和公式：当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn 11 ②当 q=1 时，1naSn 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, na 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列naaaa,,321它的前 n 项和是nSnaaaa321由 11321nnnnqaaaaaaS得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1( ∴当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn 11 ②当 q=1 时，1naSn 公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaaaaaann  12312根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132即 qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三： nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa ＝11nqSa＝)(1nnaSqa1qaaSqnn1)1(（结论同上）学习结论等比数列的前 n 项和公式：当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn 11 ②当 q=1 时，1naSn 典型例题例 1、设等比数列的首项为 a(a＞0)，公比为 q(q＞0)，前 n 项和为 80，其中最大的一项为 54，又它的前 2n 项和为 6560，求 a 和 q．答案：a=2，q=3解析： 由 Sn=80，S2n=6560，故q≠1aqqaqqnn()()11112= 80= 6560 q= 81n①②③∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前 n 项中最大项为 an．∴an=aqn-1=54 ④将③代入①化简得 a=q－1 ⑤③④ 化简得⑥3a = 2q由⑤，⑥联立方程组解得 a=2，q=3【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．SS= S (SS )n22n2n2n3n证明： ∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)类似地，可得 S3n=Sn(1＋qn＋q2n)∴＋＋＋＋S + S= S[S (1q )]= S (22qq)n22n2n2nn2n2n2nS (SS ) = S [S (1q )S (1qq)]= S (22qq)SS= S (SS )n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋例 3、一个有穷的等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求这个数列的公比和项数．答案：公比为 2，项数为 8．2解析： 设项数为 2n(n∈N*)，因为 a1=1，由已知可得 q≠1．∴①②aqqa qqqnn1221221111()()= 85= 170①② 得：把代入①得∴q = 2q = 2= 85 4 = 256 n = 4n1414n即公比为 2，项数为 8．3