3.1 回归分析（一）教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当 x=９时的位置 y 的值．时刻/s位置观测值/cm根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值 y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：① 所用的确定性函数不恰当引起的误差；② 忽略了某些因素的影响；③ 存在观测误差． （2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ① 模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ② 在模型合理的情况下，如何估计，？2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．用什么方法求，？回忆《数学 3（必修）》“2．4 线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的计算公式为，其中，由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程中，，．3． 线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加 1 个单位，相应地平均增加个单位；4． 化归思想（转化思想）在实际问题中，有时两...
