算术平均数与几何平均数（2）一．课题：算术平均数几何平均数（2）二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.四．教学过程：（一）复习：均值定理.（二）新课讲解：例 1．已知都是正数，求证：① 如果积是定值，那么当时，和有最小值；② 如果和是定值 ，那么当时，积有最大值．证明：∵， ∴ ，① 当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“”， ∴当时有；② 当 (定值)时， ∴，∵上式当时取“” ∴当时有．说明：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）； ② 用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.例 2．（1）求 的最值，并求取最值时的的值.解：∵∴ 于是，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值是，此时．（2）若上题改成，结果将如何？解：∵ 于是，从而，∴的最大值是，此时．例 3．若，则 为何值时有最小值，最小值为多少？解：∵， ∴， ∴，∴=， 当且仅当即时．例 4．已知，求的最小值．解：由 知，，∴，∴，上式中两个“”号中的等号当且仅当都成立，即当时，取得最小值．五．课堂练习：（1）若，求的最值.（2）下列函数中，最小值是的是 （ ） ， （3）已知，求的最大值，并求相应的值.六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”. 七．作业： 补充：1．已知，求的最大值，并求相应的值. 2．已知，求的最小值，并求相应的值. 3．已知，求函数的最大值，并求相应的值.4．已知，求的最小值，并求相应的值.5．已知求的最小值，并求相应的值.6．已知，求函数的最小值，并求相应的值.
