第 6 课时 抛物线的简单性质的应用1.根据抛物线的几何性质进行一些简单问题的应用,会利用几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程、焦半径和通径.2.能判断抛物线与直线的位置关系,理解抛物线的焦点弦的特殊意义,结合定义得到焦点弦的公式,并利用该公式解决一些相关的问题.我们已经学习了抛物线及抛物线的简单几何性质,抛物线的几何性质应用非常广泛,通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质不难掌握,而抛物线几何性质的应用是学习的难点,学习中应注重几何模型与数学问题的转换.问题 1:直线和抛物线的位置关系的判定方法联立直线和抛物线方程得:ax2+bx+c=0.当 a≠0 时,Δ>0⇔ ; Δ=0⇔ ; Δ<0⇔ ,没有公共点. 当 a=0 时,直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线 ,此时,直线和抛物线 ,只有一个公共点,但不能称为相切. 问题 2:抛物线的弦长的求解,可以利用两点间距离公式转化为弦长公式|AB|=|x1-x2|,再转化为两根之和与两根之积的形式进行求解,这与椭圆和双曲线的弦长计算是相同的.抛物线中还有一类较为特殊的弦,那就是过焦点的弦,以 y2=2px(p>0)为例,根据抛物线的定义,可以将焦点弦长转化为|AB|= ,这样在求解时可以大大简化运算量.过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径.直接应用抛物线定义,得到通径:d=2p. 问题 3:关于抛物线的几个结论设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,过点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的倾斜角为θ,P(x0,y0)是抛物线上任意一点,则(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切;(2)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.即 x1·x2= ,y1·y2=-p2;(3)焦半径(抛物线上一点与抛物线焦点 F 的线段)为|PF|=x0+ ;1(4)焦点弦|AB|=x1+x2+p=,+= ;(5)焦点三角形面积为 S△OAB=;(6)若点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)或 x2=2py(p>0)的内部(含焦点区域),则<2px0或<2py0.1.经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是( ).A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=02.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( ).A.2 B.2 C.2 D.23.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛物线的方程为 . 4.已知点 P 在抛物线 x2=y 上运动,Q 点的坐...
