2.4 压轴题大题 1 导数在函数中的应用2.4.1 函数的单调性、极值点、极值、最值必备知识精要梳理1.函数的导数与单调性的关系函数 y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若 f'(x)>0 在(a,b)内恒成立,则 f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若 f'(x)<0 在(a,b)内恒成立,则 f(x)在(a,b)内单调递减.2.函数的导数与单调性的等价关系函数 f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.3.函数的极值、最值(1)若在 x0附近左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0附近左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.(2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.4.两个常用结论(1)ln x≤x-1;(2)ex≥x+1.5.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数 h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A 的不等式,可选 x1(或 x2)为主元,构造函数 f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.关键能力学案突破热点一求单调区间或讨论单调性(多维探究)类型一 求不含参数的函数的单调区间【例 1】已知函数 h(x)=ln x-ax(a∈R).设 f(x)=h(x)+ln xx+(a+1)x,求函数 f(x)的单调区间.解题心得求 f(x)的单调区间,需知 f'(x)的正负,若 f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将 f'(x)中正负不定的部分设为 g(x),对 g(x)再进行一次或二次求导,由 g'(x)的正负及 g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出 f'(x)的正负.【对点训练 1】设 f(x)=ln x,g(x)=12x|x|.令 F(x)=xf(x)-g(x),求 F(x)的单调区间.类型二 讨论含参数的函数的单调性【例 2】设 a>0,讨论函数 f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点 1:求导后,考虑 f'(x)=0 是否有实根,从...
