3.3 三角大题 三角变换与解三角形必备知识精要梳理1.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.(2)角的配凑:如 α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α=12[(α+β)+(α-β)].(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2.解三角形的公式变形(1)正弦定理asin A =bsinB=csinC的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②sin A= a2R,sin B= b2R,sin C= c2R;③a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.其中 R 是△ABC 外接圆的半径.(2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 的变形为 cos A=b2+c2-a22bc.当 b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角 A 为锐角(直角,钝角).3.三个等价关系在△ABC 中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.关键能力学案突破热点一三角函数与三角变换的综合【例 1】(2020 北京海淀二模,17)已知函数 f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.(1)求 f(0)的值;(2)从① ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1 这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数 f(x)在[- π2 , π6 ]上的最小值,并直接写出函数 f(x)的一个周期.解题心得 1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.【对点训练 1】(2020 北京东城一模,17)已知函数 f(x)=asin 2x-π6-2cos2 x+π6(a>0),且满足 . (1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于 x 的方程 f(x)=1 在区间[0,m]上有两个不同解,求实数 m 的取值范围.从① f(x)的最大值为 1,②f(x)的图象与直线 y=-3 的两个相邻交点的距离等于 π,③f(x)的图象过点(π6 ,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.热点二利用正弦定理、余弦定理解三角形【例 2】(2020 山东,17)在① ac=❑√3,②csin A=3,③c=❑√3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin A=❑√3sin B,C=π6, ? 解题心得 1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理...
